Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um g(x) (divisor diferente de 0 ) consiste em dividir f por g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e r (resto).

 

Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau de q(x) será sempre menor que f(x).
Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda que o polinômio f(x) é divisível por g(x).

Método de divisão da chave (análogo ao numérico)

Exemplo:
• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.

 

• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

 

• Agora deve se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do  primeira operação.

 

• Repetir o mesmo processo do segundo passo.

 

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos  utilizar este dispositivo.

Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x⁴ – 2x²  + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x³)

 

Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.

Assim o quociente da divisão é 2x³ + 2x² + 0x¹ + 3 e o resto é 4

 

DIVISÃO DE POLINÔMIO POR         polonÔmio         

Em toda divisão temos dividendo, divisor, quociente e resto, como estamos falando de divisão de polinômio por polinômio, teremos:

Para o dividendo um polinômio G(x)
Para o divisor um polinômio D(x)
Para o quociente um polinômio Q(x)
Para o resto (podendo ser zero) um polinômio R(x)



Prova real:    

Tem algumas observações a serem feitas, como: 

 ao final da divisão o resto sempre tem que ser menor que o divisor: R(x) < D(x)?

 quando o resto for igual a zero, a divisão é considerada exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. R(x) = 0?

Observe a divisão de polinômio por polinômio abaixo, vamos partir de um exemplo, cada passo tomado no desenvolvimento da divisão será explicado.

Dada a divisão
(12x³ + 9 – 4x) : (x + 2x² + 3)

Antes de começar a operação temos que fazer algumas verificações: 
se todos os polinômios estão em ordem conforme as potências de x?

No caso da nossa divisão devemos ordenar, ficando assim:
(12x³ - 4x + 9) : (2x² + x + 3) 

 observar se no polinômio G(x) não está faltando algum termo, se estiver devemos completar?

No polinômio 12x³ - 4x + 9 está faltando o termo x², completando ficará assim:
12x³ + 0x² - 4x + 9

Agora podemos iniciar a divisão:



 G(x) tem 3 termos e D(x) tem 3 termos? Pegamos o 1º termo de G(x) e dividimos pelo 1º termo de D(x): 12x³  : 2x² = 6x, o resultado multiplicará o polinômio 2x² + x + 3 e o resultado dessa multiplicação subtrairemos pelo polinômio 12x³ + 0x² - 4x + 9. Assim teremos:




 R(x) > D(x), podemos dar continuidade à divisão, repetindo o mesmo processo anterior? Achando agora o segundo termo de Q(x).

 

R(x) < D(x), não damos continuidade a divisão, concluindo que:

O quociente é 6x – 3 e o resto é –19x + 18.

                       

Divisão de Polinômio por Monômio

 

A compreensão de como funciona a divisão de polinômio por monômio irá depender de algumas definições e conhecimentos. Será preciso saber o que é um monômio, um polinômio e como resolver a divisão de monômio por monômio. Dessa forma, veja a seguir uma breve explicação sobre esses assuntos. 

• Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por exemplo: 

x²y 
3x – 2y 
x + y⁵ + ab 

• Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo, ou seja, que possui apenas coeficiente e parte literal. Por exemplo: 

a² → 1 é o coeficiente e a² parte literal. 
3x²y → 3 é o coeficiente e x²y parte literal. 
-5xy⁶ → -5 é o coeficiente e xy⁶ parte literal. 

• Divisão de monômio por monômio 

Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Exemplos: 

6x³ : 3x = 6 . x³ = 2x² 
                 3   x² 



Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que diz que base igual na divisão, repete a base e subtrai os expoentes. 

Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de como resolver divisões de polinômio por monômio. 

Exemplo: (10a³b³ + 8ab²) : (2ab²) 

O dividendo 10a³b³ + 8ab² é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab², que é um monômio, irá dividir cada um deles, veja: 

(10a³b³ + 8ab²) : (2ab²) 



Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. 
 

Ou 



Portanto, (10a³b³ + 8ab²) : (2ab²) = 5a²b + 4 

Exemplo: (9x²y³ – 6x³y² – xy) : (3x²y) 

O dividendo 9x²y³ – 6x³y² – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x²y, que é um monômio irá dividir cada um deles, veja: 



Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. 


 

 

 

Mais informações veja o link a baixo  :

 

https://www.youtube.com/watch?v=PKDRxQCfToI